19世纪初，英国物理学家托马斯·杨实现了双缝干涉，实验上观察到明暗相间的干涉条纹，并测定了光的波长。杨氏双缝干涉实验是物理学中最基本、最重要的实验之一，有助于人们理解光的波粒二向性。与杨氏双缝干涉类似的双棱镜干涉由法国物理学家菲涅耳于1826年实现^[1]。菲涅耳双棱镜干涉也是物理学中一个重要实验。国内前期双棱镜干涉实验研究中主要是关于双棱镜的放置方式^[2]、虚光源间距的测量方法^[3]、装置调节方法^[4]。国际上最近几年关于双棱镜干涉的应用涉及光场的相位和波动性，2013年，Ana Doblas等人研究了菲涅耳双棱镜的周期干涉条纹的轴向谐振效应^[5]。2017年，Frédéric Chaussard等人研究了双棱镜时域双光波干涉^[6]。2018年，Samira Ebrahimi等人研究了基于双棱镜干涉的相衬成像^[7]。另外，A.Anand等人研究了双棱镜干涉在数字全息显微术中的应用^[8]。为了进一步扩大菲涅耳双棱镜干涉在全息显微相衬成像中应用和理解其中的物理机制，本文从信息光学角度，基于光场和光学系统的脉冲响应函数之间关系研究菲涅耳双棱镜干涉，首先进行菲涅耳双棱镜干涉理论分析，接着给出实验结果，最后进行总结。

菲涅耳双棱镜干涉的实验装置示意图如图 1所示，钠光灯与双棱镜之间放置一狭缝以形成缝光源S^[9]，在接收屏(接收屏与双棱镜之间的距离要足够远)上可以看到交叠区形成的明暗相间的干涉条纹。设光传播为纵向记为z轴；与光传播方向垂直的平面为横向记为x，y轴。为了讨论方便，在接下来推导中只考虑横向一维x轴。狭缝的透过率函数为^[9]:

图  1  菲涅耳双棱镜干涉示意图

Figure 1.  Scheme of Fresnel biprism interference

其中，x₁为狭缝的横向坐标，b为狭缝的缝宽。

考虑双棱镜引起的入射光相位变化后，则可将双棱镜的透过率函数写为^[6]:

其中，x₂为双棱镜的横向坐标，n为双棱镜的折射率，a和β分别表示双棱镜的底边长和底角，k=为光的波数，λ为光的波长。

根据信息光学中的菲涅耳衍射理论可知从狭缝到双棱镜自由传播的脉冲响应函数为^[10]:

其中，z₁为狭缝与双棱镜之间的距离。

考虑近轴近似|x₂-x₁|＜＜z₁，则，将其代入上式得:

同理可得双棱镜到接收屏的脉冲响应函数为:

其中，z₂为双棱镜与接收屏之间的距离。

再由脉冲响应函数的级联性质，可得从缝光源到接收屏的脉冲响应函数为

设光源在狭缝处初始光场为E₀，则由光场与脉冲响应函数关系，可得接收屏上的光场分布为:

将公式(2)和(6)代入上式(7)，考虑实际双棱镜横向尺寸较大以致于衍射效应可以忽略，从而将x₂的积分区间由和改为-∞~0和0~∞，然后对公式(7)积分可得接收屏上的光强分布为:

考虑实现双棱镜干涉需要远场即狭缝到接收屏的距离要足够远，忽略上式中x₁的二次项，将公式(1)代入公式(8)积分，可得接收屏上的干涉条纹强度为:

为了更直观展示双棱镜干涉条纹和讨论狭缝宽度对干涉条纹的影响，根据公式(9), 利用Matlab模拟了不同狭缝宽度条件下干涉条纹强度随横向位置的变化, 如图 2所示。其中一维图纵坐标为条纹强度相对于其最大值的归一化强度I/I_m，图 2(a)、2(b)和2(c)选取的狭缝缝宽分别为b=0.02 mm、b=0.04 mm和b=0.1 mm，选取的其他参数为λ=589.3 nm，n=1.52，β=0.013 1，z₁=10 mm，x₂=640 mm。本文用放置在钠光灯和双棱镜之间狭缝的缝宽(缝光源宽度)来表征光源的空间相干性(缝宽越小，光源的空间相干性越好)。由图 2可以看出，随着缝光源缝宽的增加即光源的空间相干性变差，干涉条纹的分辨率变差。究其原因干涉条纹是从缝光源发出的光在相遇区相干叠加形成的，而来自缝光源不同横向位置的光在接收屏上形成的干涉条纹位置不同，导致叠加以后分辨率变差，缝宽越大条纹分辨率越差。这一特点可用于指导实验中光路调整，即开始时可以将狭缝缝宽调大一些，这样用于观察干涉条纹的测微目镜中视场较亮，看到如图 2(b)或2(c)中的条纹，然后逐渐减小狭缝的缝宽直到看到如图 2(a)中清晰的干涉条纹为止。

图  2  不同缝光源宽度条件下的菲涅耳双棱镜干涉条纹，右列为左列对应的一维图

Figure 2.  Interference fringes of Fresnel biprism under different widths of slit light source, (Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes)

为了分析狭缝到双棱镜的距离z₁对干涉条纹的影响，模拟了干涉条纹在不同z₁下的分布情况，结果如图 3所示。图 3(a)、3(b)和3(c)对应的z₁分别为10、20和30 mm，其他参数为：z₁+z₂=650 mm保持不变，缝宽b=0.02 mm，其它与图 2相同。由图 3可看出随着z₁的增加，条纹间距变小，但条纹可见度变化不大，这一结果可通过接下来讨论的双棱镜干涉与双缝干涉的等效性来理解。

图  3  不同z₁(狭缝到双棱镜的距离)条件下的干涉条纹，右列为左列对应的一维图

Figure 3.  Interference fringes of Fresnel biprism under different z₁(the distance between single-slit and biprism), (Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes)

下面分析双棱镜干涉与杨氏双缝干涉的等效性。如果忽略公式(9)中与条纹位置无关的常数项，进一步简化可得到干涉条纹的强度分布为:

为了分析忽略公式(9)中与条纹位置无关的常数项的合理性，本文根据公式(9)和公式(10)，用Matlab程序分别画出了干涉条纹分布如图 4(a)和4(b)所示，其中选取的缝宽为b=0.02 mm，其它参数设置与图 2相同。由图 4可以看出干涉公式中常数项忽略与否，不影响条纹的分布和间距，只是含有常数项时，在图 4(a)干涉条纹分布中贡献一个背景；没有常数项时，干涉条纹分布没有背景如图 4(b)所示。因此接下来用公式(10)来类比双缝干涉，得到条纹间距。公式(10)与描述双缝干涉条纹的公式一致^[8]。由公式(9)和(10)可知：双棱镜干涉是由缝光源发出的光经双棱镜后波阵面被分为两部分，两部分光束在交叠区相干叠加形成的，其中项描述了干涉条纹整体包络，项描述了干涉条纹的周期，所以相邻明条纹或暗条纹的间距为，这即为双棱镜干涉在相衬成像中应用的基础^[7]。由条纹间距公式还可知双棱镜干涉等效于缝间距d=2z₁(n-1)β、缝宽为b的双缝干涉，并且z₁越大，等效缝间距越大，则条纹间距越小，图 3模拟结果与此一致。这里通过信息光学方法获得的等效条纹间距公式与传统几何方法得到的结果一致，但是该方法与几何方法相比有如下优势：即可得到干涉条纹的强度分布公式，从而分析光源相干性和光源到双棱镜的距离对干涉条纹质量的影响，也可以分析干涉条纹强度公式的常数背景项对干涉条纹对比度的影响。这些分析结果对于双棱镜干涉在相衬成像应用具有重要意义。

图  4  干涉条纹强度分布.右列为左列对应的一维图，(a)含有常数项, (b)不含常数项

Figure 4.  Intensity distributions of the interference fringe, Left Column:Two-Dimensional Patterns, Right Column:the corresponding 1D fringes. (a) and (b) are the corresponding results for that including the constant item and neglecting constant item of intensity, respectively

根据图 1所示装置，钠光灯发出的光经过狭缝形成缝光源，随后入射到双棱镜上，在双棱镜后面合适的距离处放置测微目镜。为了便于观察条纹变化，在测微目镜的目镜处再固定一CMOS相机(CMOS传感器^[11-13])，将CMOS传感器的摄像头对准测微目镜以便干涉条纹在CMOS相机显示屏上清晰呈现。这样实验者无需凑近测微目镜就可以直观观测到在CMOS相机显示屏上实时记录的干涉条纹。

图 5为z₁=80 mm，其它参数与图 2一致时，不同狭缝宽度下CMOS传感器记录的双棱镜干涉条纹。其中图 5(a)为某一合适狭缝宽度条件下，记录的干涉条纹；在此基础上将狭缝宽度增加0.02 mm后，光场变亮，但是条纹质量变差，如图 5(b)所示；当狭缝宽度增加0.08 mm后，可以看到条纹变模糊，出现亮带，如图 5(c)所示，与理论分析结果一致。图 6(a)和6(b)为狭缝到双棱镜距离分别为8 cm、12 cm条件下的干涉条纹，其它参数与图 5(a)相同。可以看出，随着狭缝到双棱镜距离变大，条纹间距变小，也与前面的理论分析结果一致。

图  5  干涉条纹图:(a)合适狭缝宽度; (b)狭缝宽度增加0.02 mm; (c)狭缝宽度增加0.08 mm

Figure 5.  Interference patterns, (a), (b) and (c) are the corresponding results at suitable slit-width, slit-width increasing by 0.02 mm and 0.08 mm, respectively

图  6  干涉条纹图(a)狭缝到双棱镜距离8 cm (b)狭缝到双棱镜距离12 cm

Figure 6.  Interference patterns, (a) and (b) are the corresponding results at the distance from the slit to biprism of 8 cm and 12 cm, respectively

最后需要指出的是，双棱镜干涉实验中，传统方法是利用物像法测等效双缝间距。根据前面理论分析可知，实验上也可以用分光仪测双棱镜的底角进而计算得出等效双缝间距。

本文首先从光场和光学系统脉冲响应函数的关系出发，理论推导出了描述双棱镜干涉的强度公式，并用Matlab模拟了干涉条纹，讨论了狭缝缝宽和双棱镜到狭缝的距离对干涉条纹的影响以及狭缝到双棱镜的距离和条纹间距的关系，并分析了双棱镜干涉与双缝干涉的等效性。然后进行了实验研究，实验结果与理论分析一致。该结果有助于双棱镜干涉在相衬成像等领域的应用。传统基于数字全息显微的相衬成像需要两束分立的相干光束(这导致相位稳定性差)，然后两束相干光束再叠加(比如马赫曾德干涉仪)，其中需要精确调整两束光的强度比。而基于双棱镜干涉的数字全息显微的相衬成像，因为激光经过显微镜然后入射到双棱镜上，双棱镜本身可以分开并叠加相干光束，再考虑干涉条纹可见度基本不受光源到双棱镜距离的影响，从而基于双棱镜干涉的相衬成像具有更好的稳定性。